Es stand die These im Raum: Über sechs Ecken kennt man jeden auf der Welt.


Die daraus resultierende, interessante Frage: Wieviele Personen müßte dafür jeder kennen?

Es wird angenommen:

• Die Population der Erde beträgt 6.4 Mrd Menschen
• Keine redundanten Kontakte
• Jeder hat gleich viele Kontakte (oder für die Betrachtung nicht relevante zusätzliche redundante Kontakte)

Auf was für Ergebnisse kommt ihr bei der Rechenaufgabe? (Und für die, die zu faul zum Rechnen sind: Was schätzt ihr?)

(Zur Kontrolle: der Wert ist durchaus nicht utopisch. Da falsche Ansätze zu relativ ähnlichen Ergebnissen führen können, möglichst mit Kommastelle)

Anmerkung: die These drückt aus, daß du mit maximal fünf Zwischenkontakten jede Person auf der Welt kennst.

Des leichteren Verständnisses wegen, erklär ich meinen Gedankengang ersteinmal für den Fall, dass jeder mit jedem höchstens im 2. Grad bekannt ist, dh. über höchstens 2 Kanten (oder anders: jeder ist mit sich (0. Grad), mit seinen direkten Freunden (1. Grad) oder deren Freunden (2. Grad) bekannt).

Stellen wir uns ein 2-dimensionales Raster vor. Jeder Gitterpunkt stellt einen Menschen dar. Menschen auf einer Linie (waagerecht oder senkrecht) sind miteinander befreundet (jede Linie bildet also einen Freundeskreis). Es ist offensichtlich, dass jeder mit jedem über höchstens 2 Kanten befreundet ist. Geht man davon aus, dass das Raster durch ein Quadrat mit der Kantenlänge n begrenzt ist, wäre jeder Mensch in 2 Freundeskreisen (2 Dimensionen) und hätte demzufolge F=(n-1)*2 Freunde (Anzahl der Punkte sowohl in der Waagerechten als auch Senkrechten OHNE sich selbst). Erweitert man nun das Ganze auf d Dimensionen, wäre jeder Mensch also in d Freundeskreisen und hätte (n-1)*d Freunde. Bei M=6.4e9 Menschen und 6 Freundeskreisen ergäbe sich das viel diskutierte n^6=6.4e9, dh. eigentlich n=M^(1/6)=43.088... also n=44 => F=(44-1)*6=258, so wie schon festgestellt. Das Problem an dieser Theorie ist die Tatsache, dass das Kriterium der geringen Redundanz nicht berücksichtigt wurde, denn:

Gehen wir zurück zum 2-dimensionalen Fall: ein Mensch mit den Koordinaten (1|5) ist mit dem Menschen auf (7|2) genau über 2 andere Menschen bekannt ((1|2) und (7|5)), wobei einer ja vollkommen reichen würde. Reduzieren wir unser Quadrat nun auf ein rechtes Dreieck, fällt einer der beide weg (zB. (7|5)) und es ändert an der oben genannten Formel für F nichts, außer dass man jetzt nichtmehr sagt "JEDER Mensch hat F Freunde" sondern "ES GIBT Menschen mit maximal F Freunden (im Koordinatenursprung)" [Das kann jeder gerne selbst mit Stift und Papier nachvollziehen]. Das größere Problem ist jedoch, dass die eben "wegreduzierten" Menschen jetzt ebenfalls in diesem Dreieck untergebracht werden müssen, d.h. M ergibt sich im 2D-Fall nichtmehr durch n*n sondern in etwa durch n*n/2 (eigentlich sogar n*(n+1)/2). n wird im allgemeinen also größer sein als zuvor - ebenso F. Dafür ist auf der anderen Seite aber gewährleistet, dass es für jedes Paar Menschen nur exakt einen Weg gibt, über den sie bekannt sind, und dieser ist maximal d Kanten lang.


Es bleibt zu ermitteln, inwelcher Form die Dimension d die Abhängigkeit von n und M beeinflusst. Man muss in jeder Dimension halbieren, jedoch "halbierten" man dabei WÖRTLICH Menschen (entlang der Diagonalen)... vermutlich gilt: M=(n-1+d)!/(n-1)!/d!... viel Spaß beim Umstellen nach n... (^^,)